Optimal Trading Strategie Und Versorgung Und Dynamik

Optimale Handelsstrategie und SupplyDemand Dynamics NBER Working Paper Nr. 11444 Ausgestellt im Juni 2005 NBER Programm (e): AP Die Versorgung eines Sicherheitsdienstes auf dem Markt ist ein intertemporales, kein statisches Objekt und seine Dynamik ist entscheidend für die Bestimmung des Marktteilnehmerhandels Verhalten. Bisherige Studien über die optimale Handelsstrategie zur Durchführung einer bestimmten Order konzentrieren sich vor allem auf die statischen Eigenschaften des Angebots. In dieser Arbeit zeigen wir, dass die Dynamik des Angebots ist von entscheidender Bedeutung für die optimale Ausführungsstrategie, vor allem, wenn Handelszeiten endogen gewählt werden. Mit einem Limit-Order-Book-Markt entwickeln wir ein einfaches Framework, um die Dynamik des Angebots und seine Auswirkungen auf die Ausführungskosten zu modellieren. Wir zeigen, dass die optimale Ausführungsstrategie sowohl diskrete als auch kontinuierliche Trades beinhaltet, nicht nur kontinuierliche Trades, wie bisherige Arbeiten vorgeschlagen wurden. Die Kosteneinsparungen aus der optimalen Strategie über die einfache kontinuierliche Strategie können erheblich sein. Wir zeigen auch, dass die Vorhersagen über das optimale Handelsverhalten interessante Auswirkungen auf das beobachtete Verhalten von Intraday-Volumen, Volatilität und Preisen haben können. Document Object Identifier (DOI): 10.3386w11444 Veröffentlicht: Obizhaeva, Anna A. Wang, Jiang, 2013. Optimale Handelsstrategie und Versorgung und Dynamik, Journal of Financial Markets, Elsevier, vol. 16 (1), Seiten 1-32. Zitat mit freundlicher Genehmigung von Nutzern, die dieses Papier heruntergeladen haben, haben auch diese heruntergeladen: Biais und WeillOptimale Handelsstrategie und Angebotsdynamik In dieser Arbeit untersuchen wir, wie sich die intertemporale Versorgung der Sicherheit auf die Handelsstrategie auswirkt. Wir entwickeln ein allgemeines Rahmenwerk für einen Limit Orderbuchmarkt, um die Dynamik des Angebots zu erfassen. Wir zeigen, dass die optimale Strategie, einen Auftrag auszuführen, nicht von den statischen Eigenschaften von supplydemand abhängt, wie z. B. Bidask-Spread und Markttiefe, hängt davon ab von ihren dynamischen Eigenschaften wie Resilienz: die Geschwindigkeit, mit der sich die Versorgung in ihrem stationären Zustand nach einem Handel erholt . Im Allgemeinen ist die optimale Strategie sehr komplex, vermischt große und kleine Trades und kann die Ausführungskosten erheblich senken. Große Geschäfte entfernen die bestehende Liquidität, um neue Liquidität zu gewinnen, während kleine Trades dem Trader erlauben, jeden eingehenden Liquiditätsfluss weiter zu absorbieren. Wenn Sie Probleme beim Herunterladen einer Datei haben, überprüfen Sie, ob Sie die richtige Anwendung haben, um sie zuerst anzuzeigen. Bei weiteren Problemen lesen Sie die IDEAS-Hilfeseite. Beachten Sie, dass diese Dateien nicht auf der IDEAS-Website sind. Bitte sei geduldig, da die Dateien groß sein können. Da der Zugriff auf dieses Dokument eingeschränkt ist, können Sie nach einer anderen Version unter Related research (weiter unten) suchen oder nach einer anderen Version suchen. 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Siehe allgemeine Informationen zur Korrektur von Material in RePEc. Für technische Fragen zu diesem Artikel, oder um seine Autoren, Titel, Abstract, bibliographischen oder Download-Informationen zu korrigieren, wenden Sie sich an: (Shamier, Wendy) Wenn Sie diesen Artikel verfasst haben und noch nicht bei RePEc registriert sind, empfehlen wir Ihnen, dies zu tun . Dies ermöglicht es, Ihr Profil mit diesem Element zu verknüpfen. Es erlaubt Ihnen auch, potenzielle Zitate zu diesem Artikel zu akzeptieren, dass wir unsicher sind. Wenn Referenzen ganz fehlen, können Sie sie mit diesem Formular hinzufügen. Wenn die vollständigen Referenzen ein Element auflisten, das in RePEc vorhanden ist, aber das System nicht mit ihm verknüpft ist, können Sie mit diesem Formular helfen. Wenn Sie von fehlenden Gegenständen wissen, die dieses zitieren, können Sie uns helfen, diese Links zu erstellen, indem wir die relevanten Referenzen in der gleichen Weise wie oben für jedes verweisende Element hinzufügen. 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Bisherige Studien über die optimale Handelsstrategie zur Durchführung einer bestimmten Order konzentrieren sich vor allem auf die statischen Eigenschaften des Angebots. In dieser Arbeit zeigen wir, dass die Dynamik des Angebots ist von entscheidender Bedeutung für die optimale Ausführungsstrategie, vor allem, wenn Handelszeiten endogen gewählt werden. Mit einem Limit-Order-Book-Markt entwickeln wir ein einfaches Framework, um die Dynamik des Angebots und seine Auswirkungen auf die Ausführungskosten zu modellieren. Wir zeigen, dass die optimale Ausführungsstrategie sowohl diskrete als auch kontinuierliche Trades beinhaltet, nicht nur kontinuierliche Trades, wie bisherige Arbeiten vorgeschlagen wurden. Die Kosteneinsparungen aus der optimalen Strategie über die einfache kontinuierliche Strategie können erheblich sein. Wir zeigen auch, dass die Vorhersagen über das optimale Handelsverhalten interessante Auswirkungen auf das beobachtete Verhalten von Intraday-Volumen, Volatilität und Preisen haben können. Veröffentlicht als Obizhaeva, Anna A. Wang, Jiang, 2013. Optimale Handelsstrategie und Versorgung und Dynamik, Journal of Financial Markets, Elsevier, vol. 16 (1), Seiten 1-32. Verwandte Werke: Zeitschriftenaufsatz: Optimaler Handelsstrategie und Angebotsdynamik (2013) Dieser Artikel kann an anderer Stelle in EconPapers verfügbar sein: Suche nach Artikeln mit demselben Titel. Export-Referenz: BibTeX RIS (EndNote, ProCite, RefMan) HTMLText Bestellinformationen: Dieses Arbeitspapier kann bei nber. orgpapersw11444 bestellt werden Mehr Papiere in NBER Working Papers von National Bureau of Economic Research, Inc National Bureau of Economic Research, 1050 Massachusetts Avenue Cambridge , MA 02138, USA Kontaktinformationen bei EDIRC. Seriendaten gepflegt durch ().Optimale Handelsstrategie und Versorgung und Dynamik Anna A. Obizhaeva a, 1. Jiang Wang b, c, d ,. Ein Robert H. Smith School of Business, Universität von Maryland, 4428 Van Munching Hall, College Park, MD 20742, USA b Sloan School of Management, MIT, 100 Main Street, Cambridge, MA 02142, USA c CAFR, China d NBER, USA erhielt am 28. Juli 2012. Verfügbar online 12. September 2012. In diesem Beitrag untersuchen wir, wie sich die intertemporale Versorgung der Sicherheit auf die Handelsstrategie auswirkt. Wir entwickeln ein allgemeines Rahmenwerk für einen Limit Orderbuchmarkt, um die Dynamik des Angebots zu erfassen. Wir zeigen, dass die optimale Strategie, einen Auftrag auszuführen, nicht von den statischen Eigenschaften von supplydemand abhängt, wie z. B. Bidask-Spread und Markttiefe, hängt davon ab von ihren dynamischen Eigenschaften wie Resilienz: die Geschwindigkeit, mit der sich die Versorgung in ihrem stationären Zustand nach einem Handel erholt . Im Allgemeinen ist die optimale Strategie sehr komplex, vermischt große und kleine Trades und kann die Ausführungskosten erheblich senken. Große Geschäfte entfernen die bestehende Liquidität, um neue Liquidität zu gewinnen, während kleine Trades dem Trader erlauben, jeden eingehenden Liquiditätsfluss weiter zu absorbieren. Liquidity Trading Optimale Auftragsabwicklung Limit Orderbuch JEL Klassifizierung 1 Einleitung Die Lieferung von Finanzwerten ist im Allgemeinen nicht vollkommen elastisch. 2 Welche Handelsstrategie ist optimal in einem Markt mit begrenztem Lieferbedarf oder Liquidität Wie unterscheiden sich verschiedene Aspekte des Angebots und beeinflussen die optimale Strategie Wie bedeutsam sind Kosteneinsparungen aus der optimalen Handelsstrategie Die Händler stehen bei jedem Handel mit diesen Fragen bei. Die Antworten auf diese Fragen sind daher für unser Verständnis davon wichtig, wie sich die Marktteilnehmer verhalten, wie Liquidität bereitgestellt und verbraucht wird, wie sie die Sicherheitspreise beeinflusst und generell, wie die Wertpapiermärkte funktionieren. Wir gehen auf dieses Problem, indem wir uns auf die optimale Strategie eines Händlers konzentrieren, der eine Bestellung über einen bestimmten Zeitraum ausführen muss. 3 Dieses Problem wird auch als das optimale Ausführungsproblem bezeichnet. 4 Bisherige Arbeiten haben wertvolle Erkenntnisse darüber gegeben, wie sich die Liquidität auf das Handelsverhalten der Marktteilnehmer auswirkt (z. B. Bertsimas und Lo, 1998. Almgren und Chriss, 1999 und Huberman und Stanzl, 2005). Diese Literatur neigt dazu, das Angebot als statisches Objekt zu betrachten, wenn sie ihre Wirkung auf optimale Handelsstrategien analysieren. Insbesondere beschreibt sie die Forderung oder Versorgung einer Sicherheit, die einem großen Handel (abhängig von ihrem Vorzeichen) ausgesetzt ist, indem sie eine sofortige Preisaufprallfunktion spezifiziert (d. h. einen zeitunempfindlichen Bedarfsplan). Die Liquidität ist jedoch durch ihre Natur dynamisch. Unser Beitrag ist zu zeigen, dass es die dynamischen Eigenschaften von supplydemand ist, wie seine zeitliche Entwicklung nach Trades, anstatt seine statischen Eigenschaften, wie Ausbreitung und Tiefe, die für die Kosten des Handels und die Gestaltung einer optimalen Strategie von zentraler Bedeutung sind. Wir schlagen einen allgemeinen Rahmen vor, um die Dynamik des Angebots zu modellieren. Wir betrachten einen Limit Orderbuchmarkt, bei dem die Lieferbedingung eines Wertpapiers durch die auf dem Buch gebuchten Limitaufträge repräsentiert wird und der Handel bei Kauf - und Verkaufsaufträgen erfolgt. Wir beschreiben die Form des Limit Orderbuches und vor allem, wie es sich im Laufe der Zeit entwickelt, um die intertemporale Natur des Angebots zu erfassen, dass ein großer Trader konfrontiert ist. Wir beschränken uns auf den Limit Orderbuchmarkt nur zur Bequemlichkeit. Unser Hauptziel ist es, die Bedeutung der Angebotsdynamik bei der Bestimmung der optimalen Handelsstrategie zu demonstrieren, und unsere wichtigsten Schlussfolgerungen bleiben für andere Marktstrukturen anwendbar. Unser Modell umfasst ausdrücklich drei grundlegende Merkmale der Liquidität dokumentiert empirisch: Bidask-Spread, Markttiefe und Resilienz. Die ersten beiden Features Bidask verbreiten und Markttiefe erfassen die statischen Aspekte der Liquidität. Sie beziehen sich auf die Form des Limit Order Buches, die bestimmt, wie viel der aktuelle Preis in Reaktion auf einen Handel bewegt. Bidask-Spread und Markttiefe sind daher der Schlüssel zur Ermittlung der Transaktionskosten, die der Trader bei der Ausführung seiner Trades sofort erleidet. Das dritte Merkmal Resilienz spiegelt den dynamischen Aspekt der Liquidität wider. Die Resilienz bezieht sich darauf, wie sich das zukünftige Limit-Order-Buch als Reaktion auf den aktuellen Handel entwickelt. Wir gehen davon aus, dass die anfängliche Preiserhöhung im Laufe der Zeit allmählich abgebaut wird, da neue Liquiditätsanbieter in das Buch einladen. Je weiter die aktuellen Zitate aus steady-state Ebenen, desto aggressiver Liquiditätsanbieter nach neuen Aufträgen. Wir zeigen, dass die optimale Strategie entscheidend von den dynamischen Eigenschaften des Limit Orderbuches abhängt. Die Strategie besteht aus einem anfänglichen großen Handel, gefolgt von einer Abfolge von kleinen Trades und einem abschließenden diskreten Handel, um den Auftrag zu beenden. Die Kombination von großen und kleinen Trades für die optimale Ausführungsstrategie steht in einem scharfen Kontrast zu den einfachen Strategien, eine Ordnung gleichmäßig in kleine Trades aufzuteilen, wie in früheren Studien vorgeschlagen (z. B. Bertsimas und Lo, 1998 und Almgren und Chriss, 1999). Die Intuition hinter dem komplexen Handelsmuster ist einfach. Der anfängliche Großhandel zielt darauf ab, das Limit Orderbuch von seinem Steady State wegzutreten, um neue Liquiditätsanbieter zu gewinnen. Die Größe des Großhandels wird optimal gewählt, um genügend neue Aufträge zu ziehen, ohne zu hohe Transaktionskosten zu verursachen. Die nachfolgenden kleinen Trades nehmen dann den Auftragseingang ab und halten den Zufluss zu wünschenswerten Preisen. Ein endgültiger diskreter Handel beendet den Restauftrag am Ende des Handelshorizonts, wenn die zukünftige Bedarfsversorgung nicht mehr besorgniserregend ist. Überraschenderweise hängt die optimale Strategie und die Kosteneinsparung in erster Linie von den dynamischen Eigenschaften von supplydemand ab und ist nicht sehr empfindlich gegenüber ihren statischen Eigenschaften, die durch eine sofortige Preis-Wirkungs-Funktion beschrieben wurden, die in früheren Arbeiten im Vordergrund stand. Insbesondere die Geschwindigkeit, mit der sich das Limit Orderbuch nach dem Auftritt eines Handels, d. H. Der Widerstandsfähigkeit des Buches oder seiner Nachschubrate, wieder aufbaut, spielt eine entscheidende Rolle bei der Bestimmung der optimalen Ausführungsstrategie und der Kosten, die es spart. Darüber hinaus stellen wir fest, dass die Kosteneinsparungen aus der optimalen Ausführungsstrategie erheblich sein können. Als eine Illustration, betrachten wir die Ausführung einer Ordnung der Größe 20 mal die Markttiefe innerhalb eines eintägigen Horizonts. Unter der Formulierung der statischen Lieferscheinfunktion in Bertsimas und Lo (1998) und Almgren und Chriss (1999). Die vorgeschlagene Strategie ist, die Ordnung gleichmäßig im Laufe der Zeit zu verbreiten. Wenn wir jedoch die Dynamik des Angebots berücksichtigen, insbesondere die Halbzeit für das Limit-Orderbuch, nachdem sie von Trades getroffen wurden, sind die Ausführungskosten der Bestellung unter der optimalen Strategie niedriger als die gleichmäßige Strategie. Zum Beispiel, wenn die Halbwertszeit für das Buch zu erholen ist 0,90 Minuten, was relativ kurz ist, ist die Kostenersparnis 0,33. Es wird 1,88, wenn die Halbwertszeit der Erholung 5,40 Minuten und 7,41 beträgt, wenn die Halbwertszeit der Erholung 27,03 Minuten beträgt. Klar, Kosteneinsparungen steigen und werden erheblich, wenn die Bücher Erholungszeit erhöht. Viele Autoren haben das Problem der optimalen Auftragsausführung untersucht. Zum Beispiel schlagen Bertsimas und Lo (1998) eine lineare Preiswirkungsfunktion vor und lösen für die optimale Ausführungsstrategie, um die erwarteten Kosten für die Ausführung einer bestimmten Bestellung zu minimieren. Almgren und Chriss, 1999 und Almgren und Chriss, 2000 beinhalten Risikoüberlegungen in einer ähnlichen Umgebung. 5 Der Rahmen, der in diesen Studien verwendet wird, beruht auf statischen Preisaufprallfunktionen zu festgelegten Handelszeiten. Die Festlegung von Handelszeiten ist eindeutig unerwünscht, weil das Timing von Trades eine wichtige Wahlvariable ist und optimal bestimmt werden sollte. Noch wichtiger ist, dass die vordefinierten statischen Preisauswirkungen die intertemporale Natur des Angebots nicht erfassen. Sie ignorieren, wie der Weg der Trades die zukünftige Entwicklung des Buches beeinflusst. Zum Beispiel nehmen Bertsimas und Lo (1998) eine lineare statische Preisaufprallfunktion ein. Folglich hängt die Gesamtpreiswirkung einer Abfolge von Trades nur von ihrer Gesamtgröße ab und ist unabhängig von ihrer Verteilung über die Zeit. Darüber hinaus werden die Ausführungskosten strategisch unabhängig, wenn häufiger Trades erlaubt sind. Almgren und Chriss, 1999 und Almgren und Chriss, 2000 und Huberman und Stanzl (2005) führen eine zeitweilige Preiswirkung als eine Modifikation ein, die vom Trading-Tempo abhängt. Die vorübergehende Preiswirkung fügt ein dynamisches Element der Preiswirkung hinzu, indem sie schnelles Handeln bestraft. Dieser Ansatz beschränkt jedoch die Ausführungsstrategie auf kontinuierliche Trades, die im Allgemeinen suboptimal ist. Was die bisherige Analyse nicht vollständig erfasst, ist, wie sich die Liquidität auf dem Markt ergänzt und wie sie mit Trades interagiert. Unser Rahmen beschreibt diesen Prozess explizit, indem wir die Buchdynamik direkt in einem Limit Orderbuchmarkt modellieren, der, wie wir zeigen, bei der Bestimmung der optimalen Ausführungsstrategie entscheidend ist. 6 Neben dem empirischen Beweis steht auch das dynamische Verhalten des Buches, das wir zu erfassen versuchen, auch mit den Gleichgewichtsmodellen der Limit Orderbuchmärkte im Einklang. Die Idee der Liquidität, die von einem Handel verbraucht wird und dann wieder aufgefüllt wird, wenn zusätzliche Liquiditätsanbieter zugute kommen, liegt hinter den meisten dieser Modelle. Zum Beispiel, Foucault (1999). Foucault, Kadan und Kandel (2005). Und Goettler, Salon und Rajan (2005) bauen theoretische Modelle von limitierten Buchmärkten auf, die je nach den Merkmalen der Marktteilnehmer unterschiedliche, aber endliche Resilienz im Gleichgewicht aufweisen. 7 Die Resilienz spiegelt die Höhe der verborgenen Liquidität am Markt wider. Unser Rahmen ermöglicht es uns, diesen dynamischen Aspekt des Angebots flexibel zu erfassen und die optimale Ausführungsstrategie unter realistischeren Marktbedingungen zu untersuchen. Unsere Analyse ist ein partielles Gleichgewicht in der Natur, wobei die Dynamik des Limit Orderbuchs gegeben ist. Obwohl wir nicht versuchen, eine Gleichgewichtsberechtigung für die spezifische Limit Orderbuchdynamik zu schaffen, die in der Zeitung verwendet wird, erlaubt unser Framework eine allgemeinere Dynamik. In der Folgeforschung haben mehrere Autoren dieses Framework verwendet, um reichere Buchverhalten zu integrieren. Zum Beispiel haben Alfonsi et al. (2010) betrachten allgemeine, aber kontinuierliche Formen des Limit Orderbuches und Predoiu, Shaikhet und Shreve (2010) erlauben diskrete Aufträge und allgemeinere Dynamik. Die Endogenisierung der Limit Orderbuchdynamik in einer vollen Gleichgewichtseinstellung ist sicherlich wünschenswert, aber anspruchsvoll. Bestehende Gleichgewichtsmodelle, wie die oben genannten, müssen die Menge der zulässigen Order-Placement-Strategien stark einschränken. Zum Beispiel Foucault, Kadan und Kandel (2005). Rou, 2008 und Rou, 2009 erlauben nur Aufträge von einer festen Größe und Goettler, Salon und Rajan (2005) konzentrieren sich auf One-Shot-Strategien. Diese Vereinfachungen sind hilfreich bei der Erlangung bestimmter einfacher Eigenschaften des Buches, aber sie sind bei der Analyse der optimalen Handelsstrategie recht restriktiv. Ein allgemeineres und realistisches Gleichgewichtsmodell muss allgemeine Strategien zulassen. Aus dieser Perspektive ist unsere Analyse, nämlich die Lösung der optimalen Ausführungsstrategie unter allgemeiner Versorgung und Dynamik, ein wichtiger Schritt in diese Richtung. Der Rest des Papiers ist wie folgt organisiert. Abschnitt 2 gibt das optimale Ausführungsproblem an. Abschnitt 3 führt ein Limit Order Book Framework ein. Abschnitt 4 zeigt, dass die konventionelle Einstellung in früheren Arbeiten als ein Spezialfall unseres Rahmens betrachtet werden kann, der unrealistische Annahmen und unerwünschte Eigenschaften beinhaltet. Abschnitt 5 liefert die Lösung für ein Problem in der diskreten Zeit. Abschnitt 6 liefert die Lösung für ein Problem in der kontinuierlichen Zeit. Abschnitt 7 analysiert die Eigenschaften und Kosteneinsparungen von optimalen Strategien. Abschnitt 8 diskutiert Erweiterungen. § 9 schließt ab. Alle Beweise sind im Anhang angegeben. 2 Aufruf des Problems Das Problem, das wir interessieren, ist, wie ein Händler eine bestimmte Bestellung optimal ausführt. Wir gehen davon aus, dass der Händler X 0 Einheiten eines Wertpapiers über einen festen Zeitraum zu kaufen hat. Angenommen, der Trader vervollständigt den Auftrag im Handel zu Zeiten, wo und. Lassen Sie die Handelsgröße für den Handel bei t n bezeichnen. Wir haben dann eine Strategie zur Ausführung der Bestellung wird durch die Anzahl der Trades, die Menge der Zeiten zu handeln und Handelsgrößen gegeben. Lassen Sie den Satz dieser Strategien bezeichnen: Hier haben wir angenommen, dass das Strategie-Set aus Ausführungsstrategien mit einer endlichen Anzahl von Trades zu diskreten Zeiten besteht. Dies geschieht nur für einen einfachen Vergleich mit früheren Arbeiten. Später werden wir die Strategie erweitern, um eine unzählige Anzahl von Trades auch im Laufe der Zeit zu ermöglichen (Abschnitt 6). Lassen Sie den durchschnittlichen Ausführungspreis für den Handel bezeichnen. Der Trader wählt seine Ausführungsstrategie über einen bestimmten Handelshorizont T, um die erwarteten Gesamtkosten seines Kaufs zu minimieren: Diese Zielfunktion bedeutet, dass der risikoneutrale Trader sich nur um den erwarteten Wert kümmert, aber nicht um die Unsicherheit der Gesamtkosten. Später werden wir Risikobewertungen (in Abschnitt 8) weiter einführen. Es ist wichtig zu erkennen, dass der Ausführungspreis für den Handel x n im Allgemeinen nicht nur von x n abhängt. Die aktuelle Handelsgröße, aber auch alle bisherigen Trades. Eine solche Abhängigkeit spiegelt zwei Dimensionen der Preisauswirkungen des Handels wider. Erstens, es ändert die Sicherheiten aktuellen Lieferbedarf. Zum Beispiel, nach einem Kauf von x Einheiten der Sicherheit zum aktuellen Preis von, die verbleibende Versorgung der Sicherheit in der Regel sinkt. Zweitens kann sich eine Änderung des aktuellen Lieferbedarfs auf die zukünftige Versorgung und damit die Kosten für zukünftige Geschäfte auswirken. Mit anderen Worten, die Preiswirkung wird durch die volle Dynamik der Versorgung und als Reaktion auf einen Handel bestimmt. Um das optimale Ausführungsproblem vollständig festzulegen und zu lösen, müssen wir also die Angebotsdynamik richtig modellieren. 3 Limit Orderbuch und Supply Demand Dynamics Die tatsächliche Lieferbedingung eines Wertpapiers und seine Dynamik hängt vom tatsächlichen Handelsprozess ab. Von verschiedenen Märkten unterscheidet sich der Handelsprozess erheblich von einem Fachmarkt, einem Händlermarkt bis zu einem zentralisierten elektronischen Markt mit einem Limit Orderbuch. In dieser Arbeit betrachten wir den Limit Orderbuchmarkt. Allerdings ist unsere Analyse von allgemeiner Natur, und wir erwarten, dass unsere Ergebnisse auch für andere Marktstrukturen relevant sind. 3.1 Limit Orderbuch Eine Limit Order ist ein Auftrag, um eine bestimmte Anzahl von Aktien eines Wertpapiers zu einem bestimmten Preis zu handeln. In einem Markt, der durch ein Limit Order Book (LOB) betrieben wird, geben die Händler ihre Lieferschein in Form von Limit Orders an ein elektronisches Handelssystem. 8 Ein Handel tritt auf, wenn ein Auftrag, sagen ein Kaufauftrag, in das System zum Preis einer entgegengesetzten Bestellung auf dem Buch eintritt, in diesem Fall ein Verkaufsauftrag. Die Erfassung aller aufgegebenen Grenzaufträge kann als Gesamtbedarf und - angebot auf dem Markt angesehen werden. Sei die Dichte von Limit Orders zu verkaufen zu Preis P. Und sei die Dichte der Limit Orders zu kaufen, um Preis P. Die Anzahl der Verkaufsaufträge in einem kleinen Preisintervall ist. In der Regel haben wir wo sind die besten Fragen und Gebot Preise, jeweils. Wir definieren, wo V ist der Mid-Quote Preis und s ist die Bidask-Spread. Dann und Weil wir die Ausführung eines großen Kaufauftrags in Erwägung ziehen, konzentrieren wir uns auf die obere Hälfte des LOB und legen einfach den Index A ab. Um die Ausführungskosten für einen großen Auftrag zu modellieren, müssen wir die anfängliche LOB angeben und wie sie sich entwickelt, nachdem sie von einer Reihe von Kaufgeschäften getroffen wurde. Lass die LOB (die obere Hälfte davon) zum Zeitpunkt t sein, wobei Ft den Grundwert der Sicherheit angibt und Zt den Satz von Zustandsvariablen darstellt, die das LOB beeinflussen können, wie etwa vergangene Trades. Wir betrachten hier ein einfaches Modell für die LOB, die ihre dynamische Natur einfängt. Dieses Modell ermöglicht es uns, die Bedeutung der Angebotsdynamik zur Analyse des optimalen Ausführungsproblems zu veranschaulichen. Wir diskutieren unten, wie man dieses Modell erweitert, um die empirische LOB-Dynamik besser zu passen (Abschnitt 8). Der Grundwert Ft folgt einer Brownschen Bewegung, die die Tatsache widerspiegelt, dass sich der Mittelpreispreis aufgrund von Nachrichten über den Grundwert in Abwesenheit von Handelsgeschäften ändern kann. Somit ist VtFt in Abwesenheit irgendeiner Trades, und das LOB behält die gleiche Form mit der Ausnahme, daß der Mittelpunkt Vt. Ändert sich mit F t. Aus Gründen der Einfachheit gehen wir davon aus, dass der einzige Satz von relevanten Zustandsvariablen Z t die Geschichte der vergangenen Trades ist, die mit bezeichnet wird. Zur Zeit 0 ist das Mittelzitat und das LOB hat eine einfache Blockformdichte, wo ist der Anfangspreispreis und ist eine Indikatorfunktion: Mit anderen Worten, q 0 ist eine Schrittfunktion von P mit einem Sprung von null bis Q zum fragenpreis Panel A von Fig. 1 zeigt die Form des Buches zur Zeit 0. Abb. 1. Das Limit Orderbuch und seine Dynamik. Diese Figur veranschaulicht, wie sich die Verkaufsseite des Limit-Order-Buches im Laufe der Zeit als Reaktion auf einen Kaufhandel entwickelt. Vor dem Handel zur Zeit ist das Limit-Order-Buch voll zum Preis, der im ersten Panel von links angezeigt wird. Der Handel der Größe x 0 bei t 0 isst die Aufträge auf dem Buch mit den niedrigsten Preisen und drückt den fragenpreis bis zu, wie im zweiten Panel gezeigt. In den folgenden Zeiträumen kommen neue Aufträge zum fragenpreis an. Diese Aufträge füllen das Buch und senken den fragenpreis, bis dieser Preis in seinen neuen stationären Zustand konvergiert, wie im letzten Panel auf der rechten Seite gezeigt. Aus Gründen der Klarheit gehen wir davon aus, dass es während dieser Zeit keine grundlegenden Schocks gibt. Jetzt betrachten wir einen Kaufhandel von Größe x 0 Aktien bei t 0. Der Handel wird von allen Verkaufsaufträgen mit Preisen von bis zu, wo ist gegeben von Von dieser Formel, wir finden, dass der neue Preis fragen ist. Der durchschnittliche Ausführungspreis für den Handel x 0 ist linear in der Größe des Handels und ist gleich. Somit ist die Blockform des LOB mit der in früheren Arbeiten angenommenen linearen Preisaufprallfunktion konsistent. Dies ist auch der Hauptgrund, warum wir diese Spezifikation hier übernommen haben. Unmittelbar nach dem Handel wird das Limit Orderbuch beschrieben, wo ist der neue Preis. Aufträge zu Preisen unten wurden alle ausgeführt. Das Buch bleibt mit Verkaufslimit Bestellungen zu Preisen oben (einschließlich). Platte B von Fig. 1 zeichnet das Limit Orderbuch direkt nach dem Handel auf. 3.2 Begrenzung der Auftragsbuchdynamik Wir legen fest, wie sich die LOB im Laufe der Zeit entwickelt, nachdem sie von einem Handel getroffen wurde. Dies beschreibt, wie neue Verkaufslimitaufträge ankommen, um das Buch zu füllen. Zuerst müssen wir die Auswirkungen des Handels auf den Mittelpreis angeben. Normalerweise wird der Mittelpreispreis durch den Handel verschoben. Wir gehen davon aus, dass die Verschiebung des mittleren Preises in der Größe des Gesamthandels linear ist. Das ist, wo und entspricht der permanenten Preisauswirkung des Handels x 0. Wenn der Ersthandel x 0 bei t 0 nicht von anderen Trades gefolgt wird und wenn es keine Schocks für die Grundlagen gibt, dann, wenn die Zeit t in die Unendlichkeit geht, konvergiert das Limit Orderbuch schließlich in seinen neuen Steady State: wo das neue Mid-Quote Und frage Preis. Als nächstes müssen wir angeben, wie das Limit-Order-Buch in seinen stationären Zustand konvergiert. Beachten Sie, dass direkt nach dem Handel, der Ask-Preis ist, während im stationären Zustand ist es. Der Unterschied zwischen den beiden ist. Wir gehen davon aus, dass das Limit-Order-Buch in seinem festen Zustand exponentiell konvergiert, in Abwesenheit von neuen Trades und Änderungen in der grundlegenden F t. Und der Parameter entspricht der Konvergenzgeschwindigkeit, die die Widerstandsfähigkeit des LOB misst. Wenn wir definieren, dass D t die Abweichung des aktuellen fragenpreises A t von seinem stationären Zustand ist, dann ist Gl. (5) und (6) implizieren, dass nach einem Kaufhandel x 0. Die neuen Verkaufslimitaufträge werden in das Buch zum neuen Ask-Preis beginnen A t zum Preis von. Je weiter der aktuelle Preis frage, desto aggressiver sind Liquiditätsanbieter und geben neue Aufträge an, um eine aufgelöste Liquidität anzubieten. Panel C zum Panel E in Abb. 1 veranschaulichen die zeitliche entwicklung des lOB nach einem kaufenhandel. Wir können die LOB-Dynamik leicht erweitern, um mehrfache Trades und Schocks auf den Grundwert zu ermöglichen. Sei n (t) die Anzahl der Trades während des Intervalls. Definiere eine Trading-Sequenz mit n (t) Trades zu Zeiten der Größe. Sei X t die verbleibende Ordnung, die zum Zeitpunkt t ausgeführt werden soll. Vor dem Handel zum Zeitpunkt t auftritt. Wir haben und wann ist der Gesamtbetrag des Kaufs während, dann ist das Mittlerzitat V t zu jeder Zeit t ist der fragen Preis zu jeder Zeit t ist und das Limit Orderbuch ist gegeben durch (5). Die obige Beschreibung kann erweitert werden, um Verkaufsaufträge zu enthalten, die in der Zwischenzeit die Verschiebung des mittleren Zitats V t auftreten können. Aber wenn sie nicht vorhersehbar sind, können wir sie einfach auslassen, da sie unsere Analyse nicht beeinflussen werden. Bevor wir die LOB-Dynamik vorantreiben und ihre Konsequenzen für die Ausführungsstrategie untersuchen, sind mehrere Kommentare in Ordnung. Zuerst ist das Hauptmerkmal des LOB seine endliche Resilienz, die von der Bildwiederholfrequenz des Buches erfasst wird. Dies wird durch eine Reihe von empirischen Beweisen motiviert, wie sie in Biais, Hillion und Spatt (1995) dokumentiert sind. Hamao und Hasbrouck (1995). Und Coppejans, Domowitz und Madhavan (2004). unter anderen. Zweitens, obwohl die hier angegebene LOB-Dynamik ohne zusätzliche Gleichgewichtsberechtigung genommen wird, stimmt das qualitative Verhalten, nämlich die endliche Resilienz, mit denen überein, die in einfachen Gleichgewichtsmodellen von LOB-Märkten von Foucault, Kadan und Kandel (2005) ) Und Goettler, Parlou und Rajan (2005). 9 Drittens sind bestehende Gleichgewichtsmodelle unzureichend, um das Problem der Ausführung zu analysieren, da sie die zulässigen Strategien stark einschränken, indem sie die Handelsgröße und - häufigkeit einschränken. Um also ein volles Gleichgewichtsmodell für das Ausführungsproblem zu entwickeln, müssen wir zunächst ihre Lösung unter allgemeiner Bedarfsdynamik kennen und dann Gleichgewichtsdynamik erreichen. Unter diesem Gesichtspunkt konzentriert sich diese Arbeit auf den ersten Teil dieses Unternehmens. Viertens ist unsere Einstellung sehr flexibel, um eine willkürliche Form des Buches und eine reiche Dynamik für seine Zeitentwicklung in Reaktion auf eine beliebige Reihe von Trades zu ermöglichen. Da das Hauptziel dieses Aufsatzes darin besteht, die Bedeutung der Angebotsdynamik bei der Bestimmung des optimalen Handelsverhaltens zu demonstrieren, anstatt eine allgemeine Lösung für das Problem zu erhalten, verkleinern wir unsere Analyse auf einen konkreten Fall des allgemeinen Rahmens. Die qualitativen Schlussfolgerungen, die wir aus dem einfachen Fall erhalten, bleiben robust, wenn allgemeinere Formen des Buches und seine Dynamik erlaubt sind, wie die Folgeforschung gezeigt hat (z. B. Alfonsi et al. 2010). 3.3 Ausführungskosten Angesichts der LOB-Dynamik können wir die Gesamtkosten einer Ausführungsstrategie für eine gegebene Order X 0 beschreiben. Lassen Sie den Handel zum Zeitpunkt t n bezeichnen. Und bezeichnen den fragenpreis zum Zeitpunkt t n vor diesem Handel. Da die Entwicklung des Ask-Preises A t in (10) nicht stetig ist, bezeichnen wir mit A t die linke Grenze von A t. , D. h. der Preis nach dem Handel zum Zeitpunkt t. Dasselbe gilt auch für V t. Die Kosten für einen einzelnen Handel werden dann gegeben durch Für die blockförmige LOB, die in (5) gegeben ist. Wir haben und die Gesamtkosten der Trades der Größe, ist. Somit wird das optimale Ausführungsproblem (3) auf die unter (9) und (10) gegebene LOB-Dynamik reduziert. 4 Konventionelle Modelle als Spezialfall Die bisherige Arbeit an der optimalen Ausführungsstrategie verwendet in der Regel eine diskrete Zeiteinstellung mit festen Zeitintervallen (z. B. Bertsimas und Lo, 1998. Almgren und Chriss, 1999 und Almgren und Chriss, 2000). Eine solche Einstellung vermeidet jedoch die Frage, wie die optimalen Handelszeiten zu bestimmen sind. In diesem Abschnitt zeigen wir, dass es einen besonderen Fall unseres Frameworks mit spezifischen Einschränkungen der LOB-Dynamik darstellt, die zu entscheidenden Einschränkungen führen. 4.1 Konventionelles Setup Wir betrachten zunächst eine von Bertsimas und Lo (1998) vorgeschlagene einfache diskrete Zeiteinstellung. Die die Grundmerkmale der in früheren Arbeiten verwendeten Modelle erfasst. In solch einer Einstellung handelt der Trader in festen, gleichmäßig beabstandeten Zeitintervallen, wo und während der Handel Horizont T und die Anzahl der Trades N gegeben sind. Jeder Handel hat einen Einfluss auf den Preis, der die Gesamtkosten des Handels und alle zukünftigen Trades beeinflussen wird. Die meisten Modelle nehmen eine lineare Preis-Wirkungs-Funktion der folgenden Form an: Wo der Index n den n-ten Handel angibt, ist der Durchschnittspreis, zu dem der Handel x n ausgeführt wird, ist der Preisaufprallkoeffizient und u n ist ein i. i.d. Zufallsvariable mit einem Mittelwert von Null und einer Varianz von. Diese Annahmen sind angesichts des Abschlusses von Huberman und Stanzl (2004) vernünftig, dass in der Abwesenheit von Quasi-Arbitrage permanente Preis-Impact-Funktionen linear sein müssen. In der zweiten Gleichung haben wir gesetzt. Der Parameter erfasst die permanenten Preiswirkungen eines Handels. Der Trader, der eine Reihenfolge der Größe X 0 ausführen möchte, löst das folgende Problem: Wo ist definiert in (15) und X n ist eine Anzahl von Aktien, die zum Zeitpunkt t n (vor dem Handel) zu erwerben sind. Wie in Bertsimas und Lo (1998) gezeigt. Da die Zielfunktion in x n quadratisch ist. Es ist optimal für den Händler, seine Bestellung in kleine Trades gleicher Größen aufzuteilen und sie in regelmäßigen Abständen über die feste Zeitspanne auszuführen: 4.2 Die kontinuierliche Zeitgrenze Obwohl die diskrete Zeiteinstellung mit einer linearen Preisaufprallfunktion eine einfache Möglichkeit gibt Und intuitive Lösung, lässt es eine zentrale Frage unbeantwortet, nämlich, was bestimmt das Zeitintervall zwischen Trades. Eine intuitive Art, diese Frage zu beantworten, besteht darin, die kontinuierliche Grenze der diskreten Zeitlösung zu nehmen (d. h. N in die Unendlichkeit zu bringen). Wie Huberman und Stanzl (2005) darauf hinweisen, weist die Lösung des diskreten Zeitmodells (16) jedoch keine klar definierte Endzeitgrenze auf. In der Tat, da die Kosten der Trades, wie in (16) gegeben, die folgende Grenze von: Diese Grenze hängt nur von der Gesamthandelsgröße X 0 und nicht von der tatsächlichen Handelsstrategie selbst ab. So ist für einen risikoneutralen Händler die Ausführungskosten bei fortlaufendem Handel eine feste Nummer und jede kontinuierliche Strategie ist so gut wie eine andere. Folglich hat das diskrete Zeitmodell keine gut ermittelte kontinuierliche Zeitgrenze. 10 Die Intuition ist, dass ein Händler einfach die Angebotskurve hochlaufen kann und die Geschwindigkeit seines Handels irrelevant ist. Ohne die Kosten zu erhöhen, kann sich der Trader am Anfang intensiv handeln und die ganze Bestellung in einer willkürlich kleinen Zeit vervollständigen. Zum Beispiel, wenn der Trader wird etwas Risiko abgeneigt, wird er wählen, um alle Trades direkt am Anfang zu beenden, unabhängig von ihrer Preis Auswirkungen. 11 Eine solche Situation ist eindeutig unerwünscht und wirtschaftlich unvernünftig. 4.3 Ein besonderer Fall unseres Rahmens Wir sehen die Einschränkungen des konventionellen Modells, indem wir es als einen besonderen Fall unseres Rahmens betrachten. In der Tat können wir die Parameter im LOB-Framework angeben, damit es der konventionellen Einstellung entspricht. Zuerst setzen wir die Handelszeiten in festen Intervallen: Als nächstes stellen wir die folgenden Annahmen über die LOB-Dynamik wie in (5) und (9) beschrieben dar: wobei die zweite Gleichung einfach anzeigt, dass der Preiswirkungskoeffizient im LOB-Rahmen in der konventionellen Einstellung gleich dem Gegenstück ist. Diese Einschränkungen implizieren die folgende Dynamik für das LOB. Wie folgt aus (10). Nach dem handel x n bei t n () springt der fragenpreis von höhe zu eben an. Da die Widerstandsfähigkeit unendlich ist, wird in der nächsten Periode der Preis nach unten auf den neuen Steady-State-Level (unter der Annahme, dass keine grundlegenden Schocks von t n bis). So ist die Dynamik des Ask-Preises gleich der Dynamik von in (15). Für die Parameter in (18). Die Kosten für den Handel sind in (13) angegeben. Was gleich ist wie die Handelskosten im herkömmlichen Modell (16). So ist das konventionelle Modell ein Spezialfall des LOB-Frameworks mit den Parametern in (18). Die wichtigste restriktive Annahme, die wir machen müssen, um das konventionelle Setup zu erhalten, ist. Diese Annahme bedeutet, dass die LOB immer in den stationären Zustand vor der nächsten Handelszeit konvergiert. Dies ist nicht entscheidend, wenn die Zeit zwischen den Trades fest gehalten wird. Wenn die Zeit zwischen den Trades schrumpfen darf, wird diese Annahme unrealistisch. Es braucht Zeit für die neuen Limitaufträge, um das Buch wieder aufzufüllen. In Wirklichkeit hängt die Form des Limit Orderbuches nach einem Handel von dem Strom der neuen Aufträge sowie der verstrichenen Zeit ab. Wenn die Zeit zwischen den Trades auf Null schrumpft, wird die Annahme einer unendlichen Wiederherstellungsgeschwindigkeit weniger vernünftig und führt zu den Problemen in der Endzeitgrenze des herkömmlichen Modells. 4.4 Temporäre Preiswirkung Dieses Problem hat mehrere Autoren dazu veranlasst, die herkömmliche Einstellung zu ändern. Er und Mamaysky (2005). Zum Beispiel direkt das Problem in kontinuierlicher Zeit formulieren und feste Transaktionskosten auferlegen, um alle kontinuierlichen Handelsstrategien auszuschließen. Ähnlich wie die allgemeinere Preisauswirkung, die von Almgren und Chriss, 1999 und Almgren und Chriss, 2000 und Huberman und Stanzl (2005) betrachtet wird, schlägt eine vorübergehende Preiswirkung eines bestimmten Formulars vor, um einen intensiven kontinuierlichen Handel zu bestrafen. Beide Modifikationen beschränken uns auf eine Teilmenge von durchführbaren Strategien, die im Allgemeinen suboptimal ist. Angesichts ihrer Nähe zu unserer Arbeit diskutieren wir nun kurz die Änderung mit einer vorübergehenden Preiswirkung. Almgren und Chriss, 1999 und Almgren und Chriss, 2000 beinhalten eine temporäre Komponente in der Preisaufprallfunktion, die vom Handelsintervall abhängen kann. Die vorübergehende Preiswirkung gibt zusätzliche Flexibilität im Umgang mit der kontinuierlichen Begrenzung des Problems. Insbesondere geben sie die folgenden Dynamiken für die Ausführungspreise des Handwerks an: Wo ist die gleiche wie in (15) angegeben. Ist die Zeit zwischen den Geschäften und beschreibt eine vorübergehende Preisentwicklung und spiegelt temporäre Preisabweichungen vom Gleichgewicht durch den Handel wider. Mit und die vorübergehende Preiswirkung beeinträchtigt das hohe Handelsvolumen pro Zeiteinheit,. Mit einer linearen Form für, ist es leicht zu zeigen, dass, wenn N in die Unendlichkeit geht, die erwarteten Ausführungskosten (z. B. Grinold und Kahn, 2000 Huberman und Stanzl, 2005). Die optimale Ausführungsstrategie hat mit der vorübergehenden Preisentwicklung eine kontinuierliche zeitliche Begrenzung. In der Tat ist es sehr ähnlich zu seinem diskreten Zeit-Gegenstück: Diese Strategie ist deterministisch und die Handelsintensität, definiert durch die Grenze von, ist über die Zeit konstant. 12 Die vorübergehende Preisentwicklung spiegelt einen wichtigen Aspekt des Marktes wider, nämlich den Unterschied zwischen kurzfristiger und langfristiger Versorgung. Wenn ein Händler seine Kaufgeschäfte beschleunigt, wie er es in der kontinuierlichen Grenze tun kann, wird er die kurzfristige Versorgung abbauen und die sofortigen Kosten für zusätzliche Trades erhöhen. Da mehr Zeit zwischen den Trades erlaubt ist, wird sich die Versorgung allmählich erholen. Allerdings liefert die temporäre Preiswirkung als eine heuristische Veränderung keine genaue und vollständige Beschreibung der Angebotsdynamik. Dies führt zu mehreren Nachteilen. Zum Beispiel schließt die vorübergehende Preisauswirkung in der von Almgren und Chriss (2000) und Huberman und Stanzl (2005) betrachteten Form die Möglichkeit diskreter Trades aus. Das ist nicht nur künstlich, sondern auch unerwünscht. Wie wir später zeigen, beinhaltet die optimale Ausführungsstrategie im Allgemeinen sowohl diskrete als auch kontinuierliche Geschäfte. Darüber hinaus erfasst die Einführung der temporären Preiswirkung nicht die volle Dynamik des Angebots. Zum Beispiel werden zwei Sätze von Trades nahe beieinander in der Zeit versus weit auseinander führen unterschiedliche Versorgung und Dynamik, während in Huberman und Stanzl (2005) sie zu der gleichen Dynamik führen. Schließlich, einfach die Festlegung einer bestimmten Form für die temporäre Preis Auswirkungen Funktion sagt wenig über die zugrunde liegenden wirtschaftlichen Faktoren, die es bestimmen. 5 Diskrete Zeit Lösung Wir kehren nun zu unserem allgemeinen Rahmen zurück und lösen für die optimale Ausführungsstrategie. Angenommen, die Handelszeiten sind fest, wo und. Wir betrachten die entsprechenden Strategien innerhalb des in Abschnitt 2 definierten Strategiesatzes. Mit (3). (9). (10) und (14). Wird das optimale Ausführungsproblem reduziert, wo Ft einem zufälligen Spaziergang folgt. Dieses Problem kann mit dynamischer Programmierung gelöst werden. Proposition 1 Die Lösung des optimalen Ausführungsproblems (20) ist mit und. Die erwarteten Kosten für zukünftige Geschäfte unter der optimalen Strategie werden nach den Tabellenrechnungswerten der optimalen diskreten Trades x 0 und x T am Anfang und am Ende des Handelshorizonts und der Intensität der kontinuierlichen Trades dazwischen für einen Auftrag bestimmt Unterschiedliche Werte des LOB-Resilienzparameters oder die Halbwertszeit einer LOB-Störung, die als definiert ist. Der anfängliche Preis beträgt 100, die Markttiefe beträgt q 5.000 Einheiten, der (permanente) Preis-Wirkungs-Koeffizient wird eingestellt und der Handelshorizont wird auf T 1 Tag gesetzt, was 6,5 Stunden (390 Minuten) beträgt. Tabelle 2 berichtet die relative Verbesserung der erwarteten Netto-Ausführungskosten durch die optimale Ausführungsstrategie über die einfache Strategie der konventionellen Einstellung. Let us first consider the extreme case in which the resilience of the LOB is very small, e. g. and the half-life for the LOB to rebuild itself after being hit by a trade is 693.15 days. In this case, even though the optimal execution strategy looks very different from the simple execution strategy, as shown in Fig. 4. the improvement in execution cost is minuscule. This is not surprising as we know the execution cost becomes strategy independent when . For a modest value of , e. g. with a half life of 135 minutes (2 hours and 15 minutes), the improvement in execution cost ranges from 4.32 for to 11.92 for . When becomes large and the LOB becomes very resilient, e. g. and the half-life of LOB deviation is 0.90 minute, the improvement in execution cost becomes small again, with a maximum of 0.33 when . This is again expected as we know that the simple strategy is close to the optimal strategy when (as in this limit, the cost becomes strategy independent). Table 2. Cost savings by the optimal execution strategy from the simple trading strategy. Relative improvement in expected net execution cost is reported for different values of LOB resilience coefficient and the permanent price-impact coefficient . The order size is set at 100,000, the market depth is set at q 5,000, and the horizon for execution is set at T 1 day (equivalent of 390 minutes). Feige. 4. Optimal strategy versus simple strategy from the conventional models. The figure plots the time paths of remaining order to be executed for the optimal strategy (solid line) and the simple strategy obtained from the conventional models (dashed line), respectively. The order size is set at , the initial ask price is set at 100, the market depth is set at q 5,000 units, the (permanent) price-impact coefficient is set at , and the trading horizon is set at T 1 day, which is assumed to be 6.5 hours (390 minutes). Panels A, B, and C plot the strategies for and 1,000, respectively. Table 2 also reveals an interesting result. The relative savings in execution cost by the optimal execution strategy is the highest when , i. e. when the permanent price impact is zero. Of course, the magnitude of net execution cost becomes very small as goes to zero. 13 In order to see the difference between the optimal strategy and the simple strategy obtained in conventional settings, we compare their profiles X t in Fig. 4. The solid line shows the optimal execution strategy of the LOB framework and the dashed line shows the execution strategy of the conventional setting. Obviously, the difference between the two strategies are more significant for smaller values of . 8 Extensions We have used a parsimonious LOB model to analyze the impact of supplydynamics on optimal execution strategy. Obviously, the simple characteristics of the model does not reflect the richness in the LOB dynamics observed in the market. The framework we developed, however, is quite flexible to allow for extensions in various directions. In this section, we briefly discuss some of them. 8.1 Time varying LOB resilience Our model can easily incorporate time variation in LOB resilience. It has been documented that trading volume, order flows, and transaction costs all exhibit U-shaped intraday patterns. These variables are high at the opening of the trading day, then fall to lower levels during the day and finally rise again towards the close of a trading day. This suggests that the liquidity in the market may well vary over a trading day. Monch (2004) has attempted to incorporate such a time-variation in the conventional models. We can easily allow for deterministic time variation in LOB dynamics. In particular, we can allow the resilience coefficient to be time dependent, for . The results in Proposition 1. Proposition 2 and Proposition 3 still hold if we replace by , by , and by . 8.2 Different shapes for LOB We have considered a simple shape for the LOB described by a step function with the constant density of limit orders placed at various price levels. As shown in Section 3. this form of the LOB is consistent with the static linear price-impact function widely used in the literature. Although Huberman and Stanzl (2004) have provided theoretical arguments in support of the linear price impact functions, the empirical literature has suggested that the shape of the LOB can be more complex (e. g. Hopman, 2007 ). Addressing this issue, we can allow more general shapes of the LOB in our framework. This will also make the LOB dynamics more convoluted. As a trade eats away the tip of the LOB, we have to specify how the LOB converges to its steady state. With a complicated shape for the LOB, this convergence process can take many forms. Modeling more complex shapes of the LOB involves assumptions about the flow of new orders at a range of prices. Recently, Alfonsi, Schied, and Schulz (2009) extended our analysis to LOB with a general density of placed limit orders. Remarkably, the authors find a close-form solution for a broad class of limit-order books and show that the suggested optimal strategies are qualitatively similar to those derived for a block-shaped LOB. Their findings thus confirm the robustness of our results. 8.3 Risk aversion We have considered the optimal execution problem for a risk-neutral trader. We can extend our framework to consider the optimal execution problem for a risk-averse trader as well. For tractability, we assume that this trade has a mean-variance objective function with a risk-aversion coefficient of a . The optimization problem (30) now becomes with (9). (28) and (29). At time T . the trader is forced to buy all of the remaining order X T . This leads to the following boundary condition: Since the only source of uncertainty in (32) is F t and only the trades executed in interval will be subject to uncertainty in F t . we can rewrite this formula in a more convenient form: Proposition 4 gives the solution to the problem for a risk-averse trader: Proposition 4 The optimal execution strategy for the optimization problem (33) is The value function is determined by where . The coefficients are given by It can be shown that as the risk aversion coefficient a goes to 0, the coefficients , , and converge to those in Proposition 2 that were obtained for a risk-neutral trader. The nature of the execution strategy that is optimal for a risk-averse trader remains qualitatively similar to the strategy that is optimal for a risk-neutral trader. A risk-averse trader will place discrete trades at the beginning and at the end of trading period and trade continuously in between. The initial and final discrete trades are, however, of different magnitude. The more risk averse the trader is, the faster he wants to execute his order to avoid future uncertainty and the more aggressive orders he submits in the beginning. The effect of traders risk aversion a on the optimal trading profile is shown in Fig. 5 Feige. 5. Profiles of optimal strategies for different coefficients of risk aversion a . This figure shows the profiles of optimal execution policies X t for the traders with different coefficients of risk aversion a 0 (solid line), a 0.05 (dashed line), and a 0.5 (dashed-dotted line) and a 1 (dotted line), respectively. The variable X t indicates how much shares still has to be executed before trading at time t . The order size is set at , the market depth is set at q 5,000 units, the permanent price-impact coefficient is set at , the trading horizon is set at T 1, and the resilience coefficient is set at . 9 Conclusion In this paper, we examine how the limited elasticity of the supplydemand of a security affects trading behavior of market participants. Our main goal is to demonstrate the importance of supplydemand dynamics in determining optimal trading strategies. The execution of orders is usually not costless. The execution prices are different from pre-trade benchmarks, since implemented transactions consume liquidity and change the remaining supplydemand. The supplydemand schedule right after a transaction will be determined by its static properties. Furthermore, trades often trigger a complex evolution of supplydemand. Rather then being permanent, its initial changes may partially dissipate over time as liquidity providers step in and replenish liquidity. Thus, supplydemand represents a complex object in the marketplace that changes in response to executed trades. While designing trading strategies traders have to take into account a full dynamics of supplydemand since their transactions are often spread over time. In this paper, we focus on the optimal execution problem faced by a trader who wishes to execute a large order over a given period of time. We explicitly model supplydemand as a limit order book market. The shape of a limit-order book determines static properties of supplydemand such as bidask spread and price impact. The dynamics of a limit order book in response to trades determines its dynamic properties such as resilience. We are interested in how various aspects of liquidity influence trading strategies. We show that when trading times are chosen optimally, the resilience is the key factor in determining the optimal execution strategy. The strategy involves discrete trades as well as continuous trades, instead of merely continuous trades as in previous work that focuses only on price impact and spread. The intuition is that traders can use discrete orders to aggressively consume available liquidity and induce liquidity providers to step in and place new orders into the trading system, thus making the execution of future trades cheaper. The developed framework for supplydemand is based on the limit order book market for convenience. Our main conclusions remain applicable to any other market structures. The framework is fairly general to accommodate rich forms of supplydemand dynamics. It represents a convenient tool for those who wish to fine-tune their trading strategies to realistic dynamics of supplydemand in the marketplace. Appendix A A.1 Proof of Proposition 1 From (A.1). the dynamics of D t between trades will be